Vector

기본 이해 질문

1. 정의: 벡터란 무엇이며, 수학적 표기법으로 어떻게 표현되나요?
   답안:

   벡터는 숫자로 이루어진 리스트나 배열입니다. 보통 \(\mathbf{x}^T = [x_1, x_2, \ldots, x_d]\)로 표현되며, 여기서 \(d\)는 벡터의 차원입니다.

2. 설명: L1 노름과 L2 노름의 수학적 정의와 기하학적 해석의 차이를 설명하세요.
   답안:

   L1 노름은 벡터 성분들의 절대값을 모두 더한 것으로, 좌표축을 따라 이동한 거리를 나타냅니다. 맨해튼 거리라고도 부릅니다. L2 노름은 벡터 성분들의 제곱을 더한 후 제곱근을 취한 값으로, 유클리드 거리를 나타냅니다.

3. 설명: 두 벡터의 내적(스칼라 곱)은 무엇을 의미하나요?
   답안:

   두 벡터의 내적은 이들 방향의 유사성을 측정하며, 한 벡터가 다른 벡터 상에 투영된 길이와 관련이 있습니다.

4. 문제 해결: 두 벡터 $(\mathbf{u} = [2, 3])$와 $(\mathbf{v} = [4, 1]) $가 있을 때, L1 노름을 사용하여 이들 간의 거리를 계산하세요.
   답안:

   L1 거리는 \(|2 - 4| + |3 - 1| = 2 + 2 = 4\)입니다.

5. 설명: L1 노름이 이상치의 영향을 최소화할 수 있는 이유를 설명하고, 이해를 돕기 위한 예시를 들어보세요.
   답안:

   L1 노름은 이상치에 덜 민감하게 반응합니다. 이는 L1 노름이 각 성분의 절대값을 합하는 방식으로 계산되기 때문입니다. 이로 인해 특정 성분(이상치)이 매우 큰 값을 가질 경우에도, L1 노름은 전체 벡터에 그 영향을 적게 미치게 합니다. 예를 들어, 어떤 데이터에서 대부분의 값이 1에서 10 사이에 있지만, 하나의 값이 1000이라면, 이 1000이라는 값이 이상치로 작용할 수 있습니다. 이때 L2 노름을 사용하면 1000의 제곱 값이 전체 노름에 큰 영향을 미치지만, L1 노름은 단순히 1000을 더하는 것에 그치므로 그 영향이 상대적으로 적습니다. 따라서 L1 노름은 이런 이상치에 덜 민감하게 반응하여 더 강건한(robust) 결과를 제공합니다.

6. 세분화: 내적과 L2 노름을 사용하여 두 벡터 사이의 각도를 계산하는 과정을 단계별로 설명하세요.
   답안:

   1. 두 벡터 \(\mathbf{a}\)와 \(\mathbf{b}\)의 내적 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\)을 계산합니다.
   \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \] 2. 각 벡터의 L2 노름을 계산합니다.
   \[ \|\mathbf{a}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}, \quad \|\mathbf{b}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2} \] 3. 내적을 두 벡터의 L2 노름의 곱으로 나눕니다.
   \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|_2 \|\mathbf{b}\|_2} \] 4. 마지막으로, 아크코사인(\(\arccos\)) 함수를 사용해 각도 \(\theta\)를 구합니다.
   \[ \theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|_2 \|\mathbf{b}\|_2}\right) \]

종합 질문

1. 가상 시나리오: 고차원 벡터 공간에서 특정 차원이 더 중요한 상황이 주어졌다면, 벡터 노름을 어떻게 수정하여 이를 반영할 수 있나요?
   답안:

   각 차원의 중요도에 따라 가중치를 부여한 노름을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 가중치가 적용된 L2 노름은 \(\sqrt{\sum w_i x_i^2}\)로 계산되며, 여기서 \(w_i\)는 \(i\)번째 차원의 가중치입니다.